一个关于定积分的定理的证明（已解决）

呵呵，就是从这里突破。我的意思是说满足f(x)<g(x)成立的绝对不可能是孤立的点，而是一个区间，根据几何意义得证。

我知道你的意思了，但是这个怎么写证明呢？因为一个区间，所以从定积分的几何意义上g(x)在f(x)上面，然后它的面积（面积取值可以大于或小于0）就大？
我感觉不太严谨，想知道这个拿数学语言能证吗？
比如书上吧，带等于号的那个，可以拿极限的保号性证明，还是挺严谨的。

设x1邻域为(c,d),(c,d)属于(a,b)。由连续函数性质：在(c,d)内有f(x)-g(x)>0，那么，
(a,b)的积分区域可以分成3个区间(a,c),(c,d),(d,b),在(c,d)区间上对f(x)-g(x)积分一定大于0，所以得结论。

呀，符号反了

f(x),g(x)连续的话最简单 既然f(x)<g(x)，任取一个点x0，问题就解决了，就象你题目的证法
f(x),g(x)如果只是可积的话 f(x)<g(x)，积分也是小于关系就难了，怎么证就是我发的那个文件的证法

首先，忽视掉我一楼的题目。
仅看我下面的题目：

书上有个定理，是说：
[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<=g(x)，然后f(x)的定积分<=g(x)定的积分。

我的问题是，去掉那个等于号这个定理怎么证。

这个问题的特例就是各位在证明时用到的：当g(x)=0的情况。（f(x)<0,f(x)的积分<0）

我的意思就是：原定理都是必须带等于号的，怎么去掉的等于号？

我跟斑斑讨论的意思是，带等于号的书中证明是从极限的保号性入手。然而，保号性取极限的函数必须带等于号。因为比如一个函数大于0，它的极限可能等于0，所以说只能得出的结论是当一个函数大于等于0，它的极限值也是大于等于0的。这个等于号不能去掉。
所以，要证明的话，我还考虑了用定积分的几何意义，从面积入手，但是感觉这么证不够严谨。

希望大家忽视掉一楼的题目，关注这个问题，谢啦~

然后刚看到你那个附件了，我不是数学系的，所以没看明白，唉……

f(x)<=g(x)，推不出f(x)的定积分<g(x)定的积分
f(x)=g(x)就是一个反例。
如果是严格小于，肯定是存在某点x0，在这点f(x)<g(x)

我的意思是两个等于号都去掉

再清楚点：
原定理：[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<=g(x)，然后f(x)的定积分<=g(x)定的积分

现要证明：[a,b]区间上，f(x)、g(x)均是连续函数，且f(x)<g(x)，然后f(x)的定积分<g(x)定的积分

应该没歧异了吧？