高等代数难题

jao · 发表于 08-12-29 23:24:03

设A是n阶可逆的实对称矩阵．证明：Ａ是正定的当且仅当对所有的n阶正定矩阵Ｂ，AB的迹trAB>0

usm007 · 发表于 08-12-31 23:08:59

充分性好像不成立
我用半正定好像也可以证得必要性

usm007 · 发表于 08-12-31 23:19:23

必要性（假设A不等于零 A半正定）
B正定 so存在正定C B=C^2
C(AB)C^-1=CAC=C\'AC 由于相似矩阵特征值相同 so AB特征值=C(AB)C^-1特征值
而C\'AC特征值正负情况=A特征值正负情况
so A特征值正负情况= AB特征值正负情况
由于A半正定且不为零显然trAB=所有特征值和>0
不知有没有错请指教

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