清华名师刘坤林：点评2009年考研数学试题－计算量降低 更强调方法

主持人：大家好！我叫冯弈，是本次访谈的主持人，今天我们非常有幸请到清华大学数学系的教授刘坤林老师给大家做一下08年数学考研的整体情况，欢迎刘老师。

刘坤林：非常高兴今天有这个机会跟大家讨论有关问题。

主持人：刘老师，先大概简单介绍一下您自己。
        
       刘坤林：我是清华大学数学科学系的一个老师，我在清华教书从事科研教学已经将近40年了，后来在清华大学考研辅导班一直到后来的水木艾迪考研辅导学校，主要的教学团队里面的教师之一。

主持人：刘老师您是不是已经看过今年数学考研三套题了？

刘坤林：我看过了，我也是今天下午刚刚看到。

主持人：您看到这三套题之后整体感觉怎么样？

刘坤林：这三套题按照我原来的感觉，跟我原来在多种场合下说过的有点类似的感觉，就是说应该说比最近几年题目的情况相比较基本上是稳定的，并且一个很突出的感觉是更加基本，更加规范化。大家关心的是难度大了还是小了，我的感觉是这样的，我也是在以前多次场合下都说过，要跟前四五年来比当然是容易了很多，但是如果跟最近两三年的情况比，我的感觉也是容易了一些，比如说比去年和前年的题还要容易，但是这个容易有一个特点，这个也是我们，水木艾迪学校强调的一点，更加强调数学的概念和思考问题的方法，在这个概念的运用技巧上和计算量上来讲，应该说比前两三年的考试略有降低。
主持人：能举一两个简单的例子吗？

刘坤林：比如说在数一里面，很容易看出来数一里边的前面几个小题是很能说明问题的，前面几个小题基本上没有什么计算，是简单的对于概念的理解，然后就去思考，比如说数一里边的第一个小题，问一个FX是叫做X减去3AX和GX等于X平方，这里边AB参数各是多少，这里边基本上没有什么计算，是利用无穷小量的计算和等价的关系简单分析就可以达到这个结果了，还有比如说第二个小题，这里边是考察学生对于数学里边的函数概念和积分的对称性和轮换对称性，这样一个题目是用到了对称性和轮换对称性以及还有积分的大小的比较关系，就是说所谓积分的保号性，如果这些概念在复习的时候都能抓得很准的话，对于我们,水木艾迪的同学来讲是非常容易的。

主持人：按您所说的，今年考研的题目只要基本概念掌握清楚之后，计算量并不是很大。

刘坤林：而且在概念的运用技巧方面也比前几年略有降低。

主持人：像今年大家也都知道，数学考研大纲改革，把我们原来的数三、数四合并为数三，对于这种改革您是怎么来看的？

刘坤林：这种改革本身体现了我们的考研数学集中就是考数学，这样在数三、数四里边实际上前几年这两个试卷有些不同，事实上后来我接触的比如说很多的老师，包括命题组的老师一块儿工作的时候，也经常讨论到有关的问题，就是说这个东西我们考研数学考的核心是数学，没有必要再把数三跟数四完全分开，而且从将来学专业课程的需要，他所需要的数学基础大体上也是相通的，基本上相同或者是相通的，所以从这个角度来讲，我认为合并新数三以后，突出体现了一个问题，这一点也是在我们教学当中特别注意强调的一个问题，我们考研数学考的是数学，考的不是物理，也不是化学，也不是经济也不是金融，考的是数学，因为考的是理工科大学类的数学。包括数三考的数学就是理工类的数学，对于我们考生来讲，这个概念如果不明确的话，他在复习过程当中或者是上了考场会有吃亏。

主持人：是不是容易走偏路？

刘坤林：肯定的。

主持人：您今年整个三套题比较，数一、数二、数三，有没有给您留下比较深刻印象的题目？或者是同学们容易遇到困难或者是容易犯错的地方，您给大家说一下。

刘坤林：限于时间，我不可能把每一个题目都给讲到，我感觉这里面体现出概念的思考，有若干的小题和大题都是这样的，我下面可以说几个简单的题，比如在数一、数二、数三有一个共用的题目，它给了一个图形，考生都清楚。他就说，正确的一个选项是哪一项，这个问题的实质问题是什么呢？就是说他给的是小F这个函数的图形，然后下面又给了大FX作为小F作为一个变现积分的函数，这个题型考察的是一个函数和它的原函数或者是导函数之间的关系，这个关系在学数学以后，特别是学微积分以后，是很容易复习到位的，而且它有明显的几何意义，比如说导数大于零就单调增加，导数小于零就单调减少，像这些问题，这些概念只要能抓到手，这些问题处理起来很容易，考的完全是概念，而不是很烦琐的计算。我的感觉今年的题目里面没有太多的烦琐计算。

还有数一里边的一个小题，第五个是考极限和基数之间的概念问题，这里边实际上对于这个题只要通过两三步的概念的逻辑思考或者是换位思考，因为现在我们的考试里边的命题老师，命题有一个很重要的特点，这是我们非常强调的，这个概念你学过没有？你大学肯定学过，但是考的时候怎么考呢？不会考请回答什么什么概念是什么，而是把这个概念融合在一个问题里边，让你对这个概念做一个小小的换位思考，第五个题是极数的修改性的问题，两个数列，一个是AN，一个是BN，AN极限为0，BN没有说，问下面哪一个对，哪一个不对，如果是极限收敛的时候，通项是趋于零，这是逻辑思考的第一步。第二如果是一个极限存在的话，有极限就有极点，这是第二个思考，这两个思考然后再加上基数的简单运算，马上就可以把这个题目的正确答案拿到。又是一个很重要的例子，没有任何的计算在里边，简单的计算都没有。

主持人：考的就是定义。

刘坤林：我想对于咱们的广大考生来讲，复习考研数学一定要狠狠抓住对概念的理解的准确性，到位性和全面性，这是很重要的，对于现在的考生来讲很重要。

主持人：因为您看了今年三道题目之后，包括和07年的题型比较，您感觉今年的整体难度没有增加。

刘坤林：应该说没有增加。

主持人：您估计这种情况还会继续延续下去吗？因为很多同学关心我明年要考研，我怎么来准备数学这方面的知识？

刘坤林：关于这方面的问题，后年咱们暂且不说，2010年的考试里边，我认为会基本上延续从去年到今年难度的水平，但是某些题目有可能会比今年的题目略微概念运用方面技巧性可能会更提高一点，这是为什么呢？我有一个估计，就是说，今年是国家做了大纲调整之后第一次实施这个大纲，这个大纲有明确的信息告诉我们广大考生，它里边就说了，这个地方不考，那个地方要降低考试难度，还有什么什么不考等等，已经说了。

今年考试题目应该说在计算量和概念的运用方面，难度有所下降是属于预料之中的一个事情。所以基于这种情况，我觉得明年的考生从整体水平来讲，应该是沿袭或者是继续保持一个稳定和去年和今年的难易程度大体相当，但是不排除在某些个别的题目上会有一点技巧性会稍微有一点提高。我为什么这么说呢？因为今年数一跟数二里边有关的证明题，应该说数一跟数二和数三有一个证明题是非常简单的，这是历年来证明题里面没有见到的题，送分的题。里面第一是两问，第一，证明拉格朗日的微积分定理，因为证明这个定理的方法也是处理其他定理的方法，这是证明题的第一个小问。第二个小问给了一个极限条件，在这个条件下证明一个结论，这个结论里边实际上两步就可以证明出来，第一用一下导数定义，第二用一下刚才证明过的拉格朗日的微分定理，这个证明结论就马上出来了，只有两步证明就马上出来了这个结果，今年证明题目的难度上是历年来没有过的，创了难度最低。

明年有可能会比今年的处理情况会稍微再带一点技巧性，但是不会很难。因为现在我知道，我们考研数学整个命题基本要求就是要有一个原则，就是基本、基本很基本，考察你对基本概念的理解、运用和思考。

主持人：基于这种情况，比如说我现在是一个大三的同学，我明年要考研，当然也不排除有些同学明年再重复考研的过程，您对这些同学有没有什么样的建议呢？从现在开始怎么来准备数学考研的这一部分的内容呢？

刘坤林：因为数学这个学科不同于其他的学科，不能靠一时的突击，一时的突击是没有效果的，要说效果也可能有一点效果，但是数学不是政治，也不是历史，也不是文学，它需要对你学过的知识进行比较仔细的梳理和思考还有基本题目的配套练习，需要做练习。所以我觉得对于来年要准备考试的大三的学生来讲，要从春节前后开始，对于我们大学的三个基本学科开始着手按照知识模块分块做一个总结，做一个梳理，然后同时针对今年考试特点和大纲的要求，然后找一找自己在对照考试这个特点方面自身所存在的漏洞或者是不足，然后在暑假前后要开始，特别是暑假开始一个比较全面的系统复习，而这个复习的时候，使用的教科书或者是复习的指导用书是要紧的。

主持人：这个希望给大家介绍一下。

刘坤林：我的建议是一定要采用理工科大学或者是很象样，有水平的好一点大学里边的用的理工科大学的教材，不要采用经济类、管理类或者是金融类的教材，因为这个不符合大纲的要求。复习的时候要紧紧围绕着基本知识点的思考个运用，比如说微积分里面，极限概念和极限概念的性质，性质有三大性质，有界性、唯一性、保号性，这样三个基本的知识点在数学的三个学科里边非常典型，都是可以梳理出来的，梳理出来之后应该按照知识模块，我们应该自己动手写一个带有逻辑框图的一个知识模块的逻辑框图。要思考这里边的问题，而且数学里边有一个很重要的问题，每一个定理，每一个性质，每一个结论都是以命题形式出现的，而命题本身是有逻辑属性的，我们在数学复习的时候，面对数学的每一个命题都能做这样的思考，你的复习会非常有效，我的建议是不要求做大量的难题、偏题，远离怪题是没有必要的，要抓住基本概念的思考和基本方法的运用。


主持人：我们再回到今天上午结束的考研数学题，您对今年刚刚参加完考研的同学您有什么样的建议给他们吗？

刘坤林：刚刚考完的同学，只要我们的考生是在之前有过充分的复习，没有去东做西做那些偏题、难题和怪题，做了大量的思考和换位思考，这样的考生我估计应该是满意的，而且这里边我特别想强调有一条，今年的考研数学里边又出现有我们说过的一个现象，很多的题目要用到函数在积分里边的对称性和轮换对称性。比如说数一里边至少有两道题必须要用到轮换对称性或者是对称性，还有数二、数三里也有这样的情况，像这样一个概念要基于两个概念的融合，函数概念打造得很好，很到位。第二，积分本身的概念，积分定义有四个步骤，我们叫做积分定义的四步曲，用了这个方法以后，整个的计算会减少很大的工作量，如果这个概念没有抓住的话，你用的方法可能是用的工作量要相对加大，不仅加大，当然数学里边有一个特点，只要你的工作量加大，你出错的机会就大了，这是很显然的。

主持人：还是像您刚才说的还是要从基本概念着手。

刘坤林：对。

主持人：今年考研已经大幕落下，绝大部分考生今天已经结束他们的考试了，数学的整体难度比以往要降低，考生如果复习的话要从基本概念着手，刚才关于从明年的着手准备来说，您也提出了一些建议，除此之外，有没有一些很好的方法在这里，您也给同学们介绍一下，因为不可能哪个人都会有一个机会听您来讲课。
刘坤林：我可以结合今年考题里面感受比较深的一些题目来跟大家说说我的一些想法或者是建议。比如说今年数一的考试里边有一道综合解答题就是第19题，曲面积分的计算，这个计算题目里边其实首当其冲考的还不是计算，还是概念，我为什么这么说呢？这个计算里面的是一个曲面，是一个椭球面，而被积函数有一个分母，被积函数有一个起点，这里面有两个概念要考我们的考生，在高斯定理的理解，可以把这个曲面积分推广到覆圆的情况，环绕一个起点的封闭光发曲面的积分，大A点，小A点，也就是说，只要是环绕某一个起点的积分，不同曲面的积分，积分是同一个，这就是第一个概念思考。所以把那个椭球面立刻可以换成一个单位球面，单位球面有了以后，那被积函数分母上有X方加Y方加Z方，第二个概念要思考曲面积分有一个严格的函数约束在积分域上的概念了，被积函数大为简化，剩的分数用高斯定理非常简单，三个偏导数求出来，剩的只要算积分区域的体积，而这个体积是单位球的体积，这个东西就非常容易算了。所谓今年数一第19题的计算其实花费时间的计算量实质上是没有的，概念思考对了以后，两三个等号就把这个结果写出来了。

主持人：要用巧劲。

刘坤林：所谓的巧劲实际上就体现在对概念的思考是很熟练的，很到位的，在这种情况下，处理现在的考题就是来得非常得利。现在还是这个问题，不要去做那些偏题、难题和怪题，善于做概念的思考和换位思考，那么这样的考生一定是会得利的。我们教学当中也会集中体现这样的教学的方法。

主持人：就是在日常给同学做辅导的过程当中。

刘坤林：你面对一个概念，一个定理，一个性质，这些都是核心考点了，你懂了没有？你如果真懂了，换一个方式思考它又会有什么结果。每一个知识点换位思考的方法会有很多很多不同的换位思考的方法，这个也是我们在教学当中要履行的教学原则，实际上我们很多考生在我们里边的学员，他们在这方面的训练是很到位的。

主持人：刚才谈到换位思考是一再强调的一个复习思路，如果同学们在复习过程当中，怎么去做这方面的辅导的训练呢？

刘坤林：其实在线性代数、概率统计和微积分都有大量的概念，比如说极限运算法则，两个函数在某种情况下有极限，那么他们相加相减，在同样的情况下也有极限，这样要思考一下它的命题属性，前面那句话作为条件来讲是后面的什么条件？显然又是英语里边的A是B的充分条件，但是这个充分条件，数学里面有很多是充分条件，充分条件按照我们汉语的理解，充分两个字是什么意思？稍加思考你就知道，充分就是往往是过多的条件，那你马上就换位思考，充分条件不满足的话，结论就不一定没有，也可能会有，因为它是充分条件。这是第一，这就叫换位思考。

主持人：实际上有点举一反三的意思。

刘坤林：你看你有没有意识到做这个思考。还可以想到充分条件，命题里边有很多，但是要注意充分条件的逆命题往往是错误的，这就是一个命题的基本元素，把某个命题包含在数学里面的概念放在题目里面，看看你会不会思考，其实这个换位思考并不难，只是你有没有意识到多想逻辑的基本属性和命题的基本属性，这就是把概念理解到位了，理解准确了，不是光背，因为在数学里面光背是没有用的，你背完了不懂，你面对考题还是不会做，如果你理解到位了，稍加换位思考立即就找到一个解题思路。

主持人：今年的这种题您还能再举一个这样的例子吗？

刘坤林：数二、数三都有这样的例子。比如说像在解答题里面数二和数三，X减Y在一个区域上积分，这个区域是第一象限半径是根号2，这个积分如果是直角坐标做或者是极坐标做的话，本身表达起来也并不是做不出来，但是过程会比较长，我又要强调概念思考了，我们想到了，它是一个圆盘，但是中心不在坐标原点，它是在相当于沿着X轴向上平移一个单位，沿着Y轴向右平移一个单位，最简单的你可以把圆盘的圆心平移到原点去，相当于Y等于X减1，V等于Y减1，这样UV所在的区域变成了以坐标原点为中心的圆盘。再转换为极坐标，这样题目就很容易做出来，这是一个很简单的函数概念的思考。这样的考题有很多很多，大题小题都有。

主持人：今天没有时间一一给大家做分析了。刚才您在访谈中也提到了，同学们要是从今年开始复习的话，要准备一些理工科院校一些教材，您能给大家推荐几本教材吗？

刘坤林：清华大学出的几本教材是值得考生使用的，有一套教材叫《微积分一》，《微积分二》，《微积分三》是清华大学出版社出的，叫做《21世纪基础课的评判系列教材》，还有像线性代数，几何一代数，还有概率统计，清华大学都有相应的基本教材，此外我们水木艾迪学校和清华大学出版社特别针对社会上的广大考生有一套教材，北京使得很多了，外地也有很多同学使用这个教材，叫做《考研数学通用辅导讲义》，这一套教材一共三本，微积分一本，线性代数一本，概率统计一本，这里边是配套了概念的梳理和分析，问题的归纳，然后有典型例题和让同学自己练习的配套练习。

主持人：因为像刚才您也说到今年的大纲是第一年调整，明年难度可能难度还是延续现在这种难度，大家在数学这方面投入的精力您感觉会怎么样？

刘坤林：看你的路子怎么走，实际上我的感觉是这样的，因为我在这个问题上已经跟很多考生有很深入，很密切的接触过了，我觉得对于我们大三的学生来讲，首先你必须把问题想好了，想什么问题呢？不是想数学问题，你是想好，你怎么样去对待数学，你怎么样去对待我们的考研数学，把宏观上的特点先找准了，找准了以后，你才能认路就认得准确了，你认路认得准确，走路就走得通畅，这是很简单的一个道理。

我想我们的考生第一，要看到我们国家现在考试的基本要求，考研题目的命题的基本特点，然后同时还要注意到一个基本特点是什么呢？数学学科本身的特点，我们前面已经说过了，数学不是外语，也不是政治，也不是文学，它有自身的特点，那么这个特点是什么呢？其实很简单两条，数学的特点有两条需要我们同学特别注意，第一要学会思考问题，但是你光是思考问题，满足于思考还是不够的，因为你必须对一个数学概念思考对了以后，你要能够用你的手写出语言来表达你的思考过程，而这个表达是重要的，所以有两大特点，一要思考，二要表达，特别我们有很多考生在大学里面学本科数学的时候比较轻视表达，这是不好的，因为我可以毫不客气的说，我们现在的三套试卷交给你来做，就是要问你在这23个题面前你看到这个问题你是怎么思考的，你思考完了之后你能不能表达出来，你表达好了，你交给老师，我们将来评分阅卷就是凭你的书面表达给你成绩，所以必须要抓住两大特点。第一要思考，第二要表达。

很多同学不善于表达，因为没有好好练过，其实练这个并不难，我们说X趋于X0的时候，极限具有三大性质，极限有唯一性，有有界性，还有保号性，每一个性质你怎么描述，这个描述并不难，但是做过跟没有做过大不一样，这个描述就提升你对这个概念的再思考，同时也是反映了你将来处理问题的一个解题的基本思路的切入点。所以我建议同学一定要重视这两个特点，特别要重视表达，表达你对概念的思考。

主持人：非常感谢刘老师今天能来到腾讯给同学们做今年考研的整体分析，同时对准备明年考研的同学提出了很多很好的建议，我们今天的访谈就到这里，谢谢大家！

刘坤林：祝大家学习进步！

谢谢分享～准备考研。

谢谢刘老师，也谢谢楼主～

谢谢楼主啊～准备中。。。。

谢谢分享～准备考研

学习了，谢谢～

谢谢了，学习中～

新年快乐。。。。。。。。

听过他讲的课，挺好的

刘老师讲的不错，顶了！！！