极限 微分两题疑惑

如图。。

1. 额，人家不是你那么玩的
人家是这么干的：原式= (e^x) * (e^(tanx-x) -1) =1 *(tanx-x)
另外tanx-x是几阶无穷小是要试着除以x^n得到极限为非零值来测试的
不过可以用tanx= sinx/cosx的幂级数来直接获得tanx= x+ 1/3 x^3 + o(x^3)的，这个可以像sinx = x - 1/6x^3 +o(x^3)一样记住的，很好用

2. 本来想用莱布尼茨法则做的，动手发现规律：设In = x^(n-1) * lnx 则In的n阶导就是In的一阶导的n-1阶导
(x^(n-1) * lnx )的一阶导 = x^(n-2) + (n-1) * x^(n-2) * lnx
注意前面的项  x^(n-2) 的n-1阶导数是0....
因此In的n阶导 是 (n-1) *I(n-1)的n-1阶导
得到递归式In的n阶导=(n-1)(n-2)(n-3)...*1的I(1)的一阶导= (n-1)! * (lnx)\' = (n-1)! / x

直接用莱布尼茨公式玩组合数……我弄了15分钟也没有捣鼓清楚

这说明莱布尼茨n次求导法则是万能的，但是没有好的组合数计算能力是万万不能的……

[ 本帖最后由 silentdai 于 2009-9-27 15:31 编辑 ]

等价无穷小代换只能在乘积用，加减不行。或者用泰勒展开，在哪儿都可以，没那么多限制。tanx= x+ 1/3 x^3 + o(x^3)

一般都是数学归纳法吧 下面这步是怎么推出来的 能给详细的讲一下吗,k+1怎么出来的

[ 本帖最后由 6666667 于 2009-9-27 19:21 编辑 ]

递推出来的吧