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矩阵家族 包含历年考研试题中出现的全部矩阵的特征，为您考研数学线性代数冲刺阶段复习指点迷津！
矩阵 在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的 方阵。 伴随矩阵 定义 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 用A的第i 行第j 列的代数余子式把第j 行第i 列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵。 例如： A是一个2x2矩阵，则A的伴随矩阵为[M22,-M21;-M12,M11]; （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n ? 1)×(n ? 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 逆矩阵逆矩阵： 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。矩阵可逆的条件 1、A是方阵 2、A的各列线性无关 3、|A|不等于0 A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中 A^(-1)表示矩阵 A的逆矩阵，其中 |A|为矩阵 A的行列式， A*为矩阵 A的 伴随矩阵。 矩阵的另外一种常用的求法： (A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。 注意：初等变化只用行运算，不能用列运算。 逆矩阵具有以下性质： 1 逆矩阵的充要条件是A的行列式不等于0（是非奇异矩阵）。 2 可逆矩阵一定是方阵。 3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。 4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。 5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。 6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。 7 一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。 8 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵(r(A）=n)。 9 可逆矩阵的秩的倒数与原矩阵的秩的乘积为一个常数C。 奇异矩阵 奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。 奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有非零解或无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解。 非奇异矩阵 n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵也即行列式A的值不为零。 对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I（ I是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵。 一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n AX=b有唯一解 AX=0无解 A可逆 相似矩阵 设Ａ，Ｂ为n阶矩阵，如果有n阶非奇异矩阵Ｐ存在，使得Ｐ^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B. ("P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵, "*" 表示乘号, "~" 读作"相似于".) 相似矩阵性质 设A，B和C 是任意同阶方阵，则有： (1) A~ A (2) 若A~ B，则 B~ A (3) 若A ~ B，B~ C，则A~ C (4) 若A~ B，则 (5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且A~ B。 (6) 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。 若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性 无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。 注：矩阵A和矩阵B相似，记作A～B则满足以下的两个条件1、它们对角线上的元素之和相等即tr(A)=tr(B)2它们的行列式计算值相等即︱A︱=︱B︱ 合同矩阵 另外当A与B合同时，A与B不一定是合同矩阵。但是两者之一是对称矩阵，另一个也是对称矩阵。对称矩阵总可以合同于对角矩阵。 由矩阵A与B合同或者相似可以得到A与B等价。但是合同与相似矩阵之间一般没有什么联系，因为相似矩阵有相同特征值，而合同矩阵不一定有相同的特征值。如果A与B都是实对称矩阵且它们都相似，则必然A与B合同。 正交矩阵 定义 1 n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=I 则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A×A′=I 为单位矩阵 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R 举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]则有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质 以上定义中的A'表示“矩阵A的转置矩阵”。 正定矩阵 X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M 正定(Positive Definite)。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 实对称矩阵 如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji（转置为其本身），则称A为实对称矩阵。 主要性质： 1.实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的。 2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。 3.n阶实对称矩阵A必可对角化。 4.可用正交矩阵对角化。 5.K重特征值必有K个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k。 转置矩阵定义 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A'。 基本性质 (A±B)'=A'±B' (A×B)'= B'×A' (A')'=A (λA')'=λA det(A')=det(A)，即转置矩阵的行列式不变 特殊转置矩阵 1、对称矩阵 其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，则有A‘=A 2、正交矩阵 其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说A是正交的，则有AA'=A'A=E（E为单位矩阵）。 3、斜对称矩阵 其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，则有A'=-A。 过渡矩阵 过渡矩阵：当V可以表示一个线性空间时，在其空间内一点都可以用它的任意两个基表示，而且两个基的表示形式是A、B，则由A基到B基可以表示成：B=PA，P为过渡矩阵。过渡矩阵的题就不说了，太简单的，只要乘一个逆矩阵就可以了，关键还是要把概念搞懂 对角矩阵 1、设M=(αij)为n阶方阵.M的两个下标相等的所有元素都叫做M的对角元素,而序列(αii)1≤i≤n叫做M的主对角线. 2、所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵。 增广矩阵 增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是 线性方程组的等号右边的值。 如：方程AX=B 系数矩阵为A，它的增广矩阵为(A B)。 增广矩阵通常用于判断矩阵的有解的情况，比如说 秩（A)<秩（A B) 方程组无解； 秩（A)=秩（A B)并且等于满秩，方程组有唯一解； 秩（A)=秩（A B)并且小于满秩，方程组无穷解； 秩（A)>秩（A B)不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩。 | 
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