两道题目求教 关于无穷小替代和麦克劳林展开式的问题

题目如下两图

TI:首先你求解的思路是正确的，即先求导，再积分。但是积分时要注意两边同时加上积分上下限。注意到下限为零，那么1的反正切就是pi/4了。（pi是圆周率）。

T2:我不知道你有没有学习过泰勒级数。事实上，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+...。因此，不难求出
x^2ln(1+1/x)=x^2(1/x-1/(2x^2)+1/(3x^3)-1/(4x^4+...))=x-1/2+1/3x-...
由此可见
当x趋近于无穷大时，limx^2ln(1+1/x)=x-1/2.
因此原题的结果应该是：根号e吧。

旁观 发表于 2012-4-18 11:19
T2:我不知道你有没有学习过泰勒级数。事实上，ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+...。因此，不难求出
x^2ln(1+ ...

谢谢你哈！对题目一 ，就是不太明白为什么积分之后要加上上下限的值呢？
还有题目二 里的ln(1+1/x) 在x趋近于无穷大时是符合那个 无穷小替代的条件的呀，为什么不可以用ln(1+1/x)-1/x 来替代呢？

storyli 发表于 2012-4-18 23:51
谢谢你哈！对题目一 ，就是不太明白为什么积分之后要加上上下限的值呢？
还有题目二 里的ln(1+1/x) 在x趋 ...

对于题目2，你用无穷小替换没有错，但是你忽略了本题是求两个式子的比值，因此要考虑到无穷小的比较。即涉及到高阶无穷小和低价无穷小的问题。你还是多揣摩一下吧。希望你能明白哦~

旁观 发表于 2012-4-19 12:09
对于题目2，你用无穷小替换没有错，但是你忽略了本题是求两个式子的比值，因此要考虑到无穷小的比较。即涉 ...

谢谢~~我好好琢磨下~