请高手帮忙！浙大2001年数分真题的！

浙大2001年数分里有一个关于黎曼函数的题目，想和大家讨论一下。
原题是：给出一个函数f，在有理数都不连续，在无理数点都连续，并证明之。
很明显大家都会想到黎曼函数，答案也是这样的，而且把黎曼函数扩展到整个实数域。
但是有一个问题，一般在讨论时只考虑了（0，1）这样一个开区间内是有理数都不连续，在无理数点都连续。而0和1这两点忽略。
实际上可以证明在0连续，在1点不连续（这是复旦一年真题）。这就有问题了，把它扩展到实数域时，那些整数点该怎么处理呢？



不知道大家发现没有，很多教材对黎曼函数的讲解都有出路。拿复旦第二版陈传璋的教材来说，（第279页）给出的黎曼函数里没有在0和1点的定义，当然我们按常规的应该和无理数点一样函数值为0。但他也只讨论（0，1）开区间内的有理数和无理数，而结论却是[0，1]闭区间上有理数都不连续，在无理数点都连续。我实在搞不懂。
当然，华东师大版的上面定义和证明很明确，但没有讨论在0和1两个端点的连续性
我这里还有一本参考书，他叙述的比较精明，干脆令f(0)=1,f(1)=0,理由是：“要使0=p/q为既约分数，且q>0,故只可能q=1,p=0”。当然这样就可以说[0，1]闭区间上有理数都不连续，在无理数点都连续了。但明显和传统定义矛盾啊！不知大家对此问题有何高见？

[ 本帖最后由 cyl2001hb 于 2006-9-15 05:10 PM 编辑 ]

不知道大家发现没有，很多教材对黎曼函数的讲解都有出路。拿复旦第二版陈传璋的教材来说，（第279页）给出的黎曼函数里没有在0和1点的定义，当然我们按常规的应该和无理数点一样函数值为0。但他也只讨论（0，1）开区间内的有理数和无理数，而结论却是[0，1]闭区间上有理数都不连续，在无理数点都连续。我实在搞不懂。
当然，华东师大版的上面定义和证明很明确，但没有讨论在0和1两个端点的连续性
我这里还有一本参考书，他叙述的比较精明，干脆令f(0)=1,f(1)=0,理由是：“要使0=p/q为既约分数，且q>0,故只可能q=1,p=0”。当然这样就可以说[0，1]闭区间上有理数都不连续，在无理数点都连续了。但明显和传统定义矛盾啊！不知大家对此问题有何高见？





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谁有陕西师范大学数学专业历年真题啊？

确实是令人比较头疼，我在以前上这门课的时候曾经问过老师在0，1两点的连续性如何证明（当时我用的是华东师大第三版），但是可能是我太笨了，不理解老师所讲的，问题也一直留到现在，希望能在这里得到解决吧

bu zhi dao

我觉得你的结论本身就不对，应该是：黎曼函数在0,1及(0，1)上所有无理点连续，(0,1)上所有有理点不连续。
而且我觉得之所以黎曼函数是定义在(0,1)上的函数，是因为p/q在(0,1)上有有限个大于a(a是任意实数)，有了这个条件，黎曼函数在(0,1)上才成了可积函数，而如果将黎曼函数拓展到整个实数域
，就不能保证它是可积的，故我们不能随意将其拓展，除非修改参数。然而如果从实变函数的角度看黎曼积分的拓展，它是可积的，因为有理数的测度是零。
关于结论的证明我推荐一个博客http://hi.baidu.com/abc552518/bl ... eba1eff11f36c0.html

呵呵，你干什么非说它就是黎曼函数呢？你就给出开区间（0，1）上的f来不就行了，谁规定函数的定义域一定是R了？
不要自己找麻烦啊

谁有大连理工大学06到09的数分高代真题！