考研之洛必达法则

洛必达法则失效的种种情况及处理方法

洛必达法则 的三个条件：

（1） （或 ）， （或 ）；

（2） 和 在 点的某个去心邻域内可导；         

（3） （或 ）。

其中第三个条件尤其重要。

其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。

而对于极限问题 来说，因为 不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。

实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。

【问题】求极限 。

【解】对于任何足够大的正数 ，总存在正整数 ，使 ，也就是说总存在正整数 ，使 ，其中 。

这样 就等价于 ，所以

，

这里前面一项注意到了函数 的周期为 ，而后面一项作了令 的换元处理。最后注意到积分值 的有界性（ ）。

如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。

【问题2】求极限（1） ；（2） 。

【分析与解】（1）这是 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到

，

可知洛必达法则失效，处理的方法是

。

（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到

，

可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘 ，得到

。

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