2014考研数学备考重点解析 ——一维随机变量函数的分布

2014考研数学备考重点解析

——一维随机变量函数的分布

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随机变量函数的定义：设file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.png是一个定义于file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.png的函数（file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.png一般为连续函数），随机变量Ｘ的函数file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.png是指这样的一个随机变量Ｙ：当Ｘ取值ｘ时，它取值file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.png，记作file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.png

一、离散型：当Ｘ为离散型随机变量时，已知Ｘ的分布律，求file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.png的布律.

设file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.png，则file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.png的分布律为：

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.png

注：取相同file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image019.png值对应的那些概率应合并相加

二、连续型：当file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.png为连续随机变量时，已知Ｘ的概率密度，求file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.png的概率密度. 为求file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.png的概率密度，通常先求它的分布函数（即分布函数法）

设file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.png的概率密度为file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.png，则file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.png的分布函数为：

对file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.png，file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.png

其中file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image031.png是与file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.png相等的随机事件，而file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image035.png是实数轴上某个集合（通常可以表示为一个区间或若干区间的并集）．

注：1.如果file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image037.png，当file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image039.png时，file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image041.png，特别，file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image043.png.

        2.通常连续型随机变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.png的概率密度是分段函数大学考研，所以用分布函数法的时候，最重要的是讨论各种情况.

【例1】设file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.png的分布律为：

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image047.png

求file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image049.png的分布律.

【解析】

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image051.png

【例2】设随机变量X的概率密度为file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image053.png  F(x)是X的分布函数．求随机变量Y＝F(X)的分布函数．

【解析】本题主要考查一维连续型随机变量大学考研函数的分布，我们用分布函数法进行讨论．

易见，当x＜1时，F(x)＝0；

当x＞8时，F(x)＝1．

对于x∈[1，8]，有file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image055.png

设G(y)是随机变量Y＝F(X)的分布函数．显然，当y≤0时，G(y)＝0；当y≥1时，G(y)＝1．

对于y∈(0，1)，有

file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image057.png

＝P{X≤(y＋1)3}＝F[(y＋1)3]＝y．

于是，Y＝F(X)的分布函数为

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