请教一道高代题

无非浮尘 · 发表于 06-12-5 09:50:24

设A为n阶方阵，A的各行与各列恰有一个元素且为１或－１，证明A的特征根都是单位根．

sy1101 · 发表于 06-12-5 16:47:36

将A排成单位矩阵形式,然后求特征值即可.

无非浮尘 · 发表于 06-12-12 08:22:37

还是不很明白，不会做，希望你能够解释的再详细一点，不胜感激！

yoyoran · 发表于 06-12-12 09:34:11

A的各行与各列恰有一个元素且为１或－１

那么就可经过初等变换成对角阵，且对角线元素为１或－１

sunrisingbit · 发表于 06-12-20 23:11:54

错题，行列式肯定肯定可能为0，说明特征值也可能为0，不可能全为单位根

chinahb · 发表于 06-12-21 21:31:42

是否可以这样理解，分别考察矩阵A^2,A^3,A^4,......等等，可以用归纳法证明，A^2,A^3,A^4,......都具有性质“各行与各列恰有一个元素且为１或－１”，而具有这样性质的矩阵个数是有限个（事实上，可由排列组合知识得到最多是2^n*n!个），因此，存在m,n，满足
A^m=A^n,（m>n)
且因为|det(A)|=1,所以A可逆，因此A^m-n=E(单位矩阵），这样A的特征根模为1，即得命题。

格式比较乱，不当之处，多请包涵！

jdm · 发表于 07-8-25 10:22:26

原帖由 sunrisingbit 于 2006-12-20 11:11 PM 发表
错题，行列式肯定肯定可能为0，说明特征值也可能为0，不可能全为单位根

A的个列向量线性无关，他的行列式的值当然不为0，这个结果肯定是正确的

jdm · 发表于 07-8-25 11:37:39

6楼的想法很不错哦

zhoudun1986 · 发表于 07-9-14 21:19:09

这是一个正交矩阵它在复数域上的特征根的模为一

zhoudun1986 · 发表于 07-9-14 21:20:20

做内积即可

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