微分方程问题，急!!

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在（-∞，+∞）内满足以下条件：
f`(x)=g(x),g`(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=x+1,
则F(x)的表达式————

此题是09永乐经济类660的530题，书上是这样解的:
由于 F`(x)=f`(x)g(x)+f(x)g`(x)
          =g2(x)+f2(x)=[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)
          =(x+1)2-2F(x),
故函数满足F`(x)+2F(x)=(x+1)2



而我的解法：由于f(x)+g(x)=x+1,则有[f(x)+g(x)]2=(x+1)2,展开即：
g2(x)+f2(x)+2f(x)g(x)= (x+1)2,又F(x)=f(x)g(x),则g2(x)+f2(x)+2F(x)= (x+1)2
两边同时对x求导：2g(x)g`(x)+2f(x)f`(x)+2F`(x)=2(x+1), 又f`(x)=g(x),g`(x)=f(x)
则:4F(x)+2F`(x)=2(x+1),即   F`(x)+2F(x)=x+1


我的解法不知问题出在那里，请高手帮忙，小弟谢了先

不好意思了大家，上面的2大部分明明是上标的，不知贴上去后就没有上标的效果了。

大家看这个吧，（不好意思）

设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在（-∞，+∞）内满足以下条件：
f`(x)=g(x),g`(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=x+1,
则F(x)的表达式————

此题是09永乐经济类660的530题，书上是这样解的:
由于 F`(x)=f`(x)g(x)+f(x)g`(x)
          =g(x)g(x)+f(x)f(x)=[f(x)+g(x)][f(x)+g(x)]-2f(x)g(x)
          =(x+1)(x+1)-2F(x),
故函数满足F`(x)+2F(x)=(x+1)(x+1)


而我的解法：由于f(x)+g(x)=x+1,则有[f(x)+g(x)][f(x)+g(x)]= (x+1)(x+1)
,展开即：
g(x)g(x)+f(x)f(x)+2f(x)g(x)=(x+1)(x+1)又F(x)=f(x)g(x),则g(x)g(x)+f(x)f(x)+2F(x)= (x+1)(x+1)
两边同时对x求导：2g(x)g`(x)+2f(x)f`(x)+2F`(x)=2(x+1), 又f`(x)=g(x),g`(x)=f(x)
则:4F(x)+2F`(x)=2(x+1),即   F`(x)+2F(x)=x+1


我的解法不知问题出在那里，请高手帮忙，小弟谢了先

这个题本身好像就有问题。
(1)  g(x)=f\'(x)且f(x)+g(x)=x+1，所以f\'(x)+f(x)=x+1;
(2)  f(x)+g(x)=x+1,两边求导得f\'(x)+g\'(x)=1,而已知g\'(x)=f(x)，所以f\'(x)+f(x)=1;
由(1)和(2)得到的两个方程应该矛盾。

题目本身好像真有问题：

f\'(x)=g(x), g\'(x)=f(x)推出f\"(x)-f(x)=0,推出f(x)=c1*exp(x)+c2*exp(-x),又f(0)=0，代入推出c1+c2=0
即f(x)=c*exp(x)-c*exp(-x)。

又f\'(x)=g(x)推出g(x)=c*exp(x)+c*exp(-x).

所以f(x)+g(x)=2c*exp(x)，与f(x)+g(x)=x+1矛盾。

所以就是说 条件f\'(x)=g(x), g\'(x)=f(x),f(0)=0 与条件  f(x)+g(x)=x+1 矛盾。

原帖由 amair 于 2008-9-13 00:09 发表
题目本身好像真有问题：

f\'(x)=g(x), g\'(x)=f(x)推出f\"(x)-f(x)=0,推出f(x)=c1*exp(x)+c2*exp(-x),又f(0)=0，代入推出c1+c2=0
即f(x)=c*exp(x)-c*exp(-x)。

又f\'(x)=g(x)推出g(x)=c*exp(x)+c*exp(-x).
...

不对，你的方法有问题，f(x),g(x)在定义域有一阶导数，不等于它在定义域就有二阶导数，完全存在不可导的二阶导数的点

楼主请看：g(x)g(x)+f(x)f(x)=F`(x)，对不？？？你对g(x)g(x)+f(x)f(x)求导实际上是默认了它在定义域上有二阶导数，这是不正确的，一阶导数在定义域的存在不能表明二阶导数在定义域的存在，因为F`(x)完全有可能存在二阶不可导的点。正确做法是，你把等式两边平方之后g(x)g(x)+f(x)f(x)=F`(x) ，g(x)g(x)+f(x)f(x)+2f(x)g(x)==F`(x)+2F(x)=(x+1)(x+1)

f\'(x)=g(x), g\'(x)=f(x)，应该能推出g\'(x)=f\"(x)=f(x)

晕，楼主好好看一下，你的答案和正确答案是一回事，你的答案是正确答案的关系式再求导而已，因为F(X)的二阶导等于4F(X),带出来完全一样
你好好看下

6楼正解，谢啦