分享一道线代（拓展思路）10楼发布了详细解答

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分享一道线代题，大家拓展下思路


第二问不一定要具体回答，定性就可以了


第二问是“实矩阵A”，多打了个“矩阵”

第一问 有问题吧 貌似 应该r(AB)=r（B）吧

笔误，已改了

第一问，不妨设A是n*m阶的，n>=m(如若不然与列满秩矛盾),B为m*s阶吧，则必存在一可逆矩阵P（一系列初等矩阵乘积）使得PA=C，C后n-m行元素全为零，切记前m行组成矩阵C1，显然r(A)=r(C)=r(C1)=m,又CB=D,D前m行是矩阵C1B,r(C1B)=r(B),后n-m行元素全为0，于是r(AB)=r(PAB)=r(CB)=r(C1B)=r(B),over。
第二问实矩阵矩阵？后面是特征值？图片看不全 。。。

4楼朋友题目没有给出A是方阵，不全面吧。。。

继续想，拓宽思路
例如第一问，我们平时都把它当做结论来用
第二问，纯属是发散思维，帮大家更好的理解所学的知识

A列满秩就说明方程组AX=0中没有自由变量，那么方程组就只有零解，所以A可逆，一个矩阵和一个可逆矩阵相乘秩是不变的，因为相当于对矩阵B进行了初等变换，所以AB的秩等于B的秩！

(1)根据版主的提示，第一问可以从证ABx=0与Bx=0等价入手，显然后者的解全是是前者的解，又对于前者的任何解x0,可以断言Bx0=0，若Bx0=y0非零，则方程Ay0=0有非零解，与A列满秩矛盾（如楼上的自由未知量解释，关于A可逆的论断不敢恭维），从而两方程组等价，即得r(AB)=r(B)。
(2)由A是n*m(n>=m)实矩阵，AAT是n*n实对称矩阵，从而必可相似对角化，由第一问结论r(AAT)=r(A)=m,若A是方阵(n=m)，则A可逆进而AAT可逆，特征值全不为零，且其和应等于A的行范数之和，亦即AAT的迹，这个值显然大于0，进一步猜想是不是全部特征根都大于零呢？答案是肯定的，事实上从定义出发取任意n维非零列向量x,xTATAx=(Ax)T(Ax)>0,ATA正定，ATA和AAT有相同特征根，AAT是正定的；若A不是方阵(n>m),由r(AAT)=m,则AATx=0的解空间是n-m维的，即AAT属于0的线性无关的特征向量有n-m个，可以断言特征根0是n-m重的(实对称矩阵代数重数和几何重数必然相等),其他m个非零特征根其和应等于A的行范数之和，是否还有其他m个非零特征值均大于零这样的结论呢？作为一个猜想等待大家证明，如果是个真命题，那么关于这题我们有结论：
  如果A列满秩，则AAT非负定，且有r(AAT)=m=p(正惯性指数）。

猜想的非常好，这道题的综合性很强

AAT“半正定”

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-12-3 20:35 编辑 ]

此题目虽然不太会考，但作为拓展思路，还是有必要的
我一开始也没想到怎么去证明n个正特征值，那部分证明是会员“mouse123”证出来的
我后来又研究下了，觉得这种题目对线代的整体知识把握很好，所以奉献给大家

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-12-3 21:11 编辑 ]