请教一道关于矩阵秩的证明题

ddsmile · 发表于 11-1-11 16:17:11

对于n阶矩阵A与B，有等式：r(E-AB)+r(E+AB)=n。求证：r(A)=n。

感觉很简单，应该要用秩的不等式吧？
但就是无法证出来。麻烦各位提示一下思路。
谢谢！

ddsmile · 发表于 11-1-11 19:04:15

好久没有做这方面的题目了，很多技巧都忘光了。版上没人最近做这种类似的题目吗？

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 19:10:02

这种不等式  可以参见蔡子华的公式小册子文都教育里面有公式也可以去查找数一得小册子

高等代数  和线性代数这一块  公式是一样的

也可以找一本考研辅导电子书  查一下公式不等式的

tianliangzh · 发表于 11-1-12 16:22:51

利用分块矩阵进行初等变换，记得到

chiechie · 发表于 11-1-12 17:04:54

只要证AB可逆即可，令AB=C，（E-A）X=0和(E+A)X=0的解空间直和，所以A的特征值为一和负一，所以，可逆

tianliangzh · 发表于 11-1-12 17:11:15

没差嘛，通过分块得到，ABAB=E,于是A可逆

chiechie · 发表于 11-1-12 17:20:26

不好意思，之前看太快，题目看错了

chiechie · 发表于 11-1-12 17:26:30

呵呵，你的简单些

ddsmile · 发表于 11-1-12 22:29:12

这道题我通过其他方法已经证明了。是根据A^2=E等价于r(E-A)+r(E+A)=n而证出来的。证的过程稍微复杂了点。

分块矩阵这部分一直比较薄弱，不清楚你这个是怎么分块的？

tianliangzh · 发表于 11-1-12 23:33:30

左上角为E-AB,右下角为E+AB,那么你在证明等价性是怎样来的？不妨分享下

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